包含更全面数据集

萧箫 发自 凹非寺
非常AI | 公众号 QbitAI

用AI求解偏微分方程，这段时间确实有点火。

但究竟什么样的AI求解效果最好，却始终没有一个统一的定论。

现在，终于有人为这个领域制作了一个名叫PDEBench的完整基准，论文登上了NeurIPS 2022。

PDEBench不仅能当成一个大型偏微分方程数据集，也能作为新AI求解偏微分方程的基准之一——

不少“老前辈”的预训练模型代码都能在这里找到，作为一个比对基础。

例如去年大火了一阵的FNO，几秒钟求解出传统方法需要计算18个小时的偏微分方程，代码就被放进了PDEBench中。

这个新基准一出，LeCun也激情转发：这领域确实很火。

所以，AI求解偏微分方程的优势是什么，这一基准具体提出了哪些评估方法？

为啥用AI求解偏微分方程？

偏微分方程（PDE，Partial Differential Equation），是一个生活中常见的方程。

包括预报天气、模拟飞机空气动力、预测疾病传播模型，都会用到这个方程。

目前北大数学系“韦神”韦东奕的研究方向之一，就是流体力学中的数学问题，其中就包括偏微分方程中的Navier-Stokes方程。

所以，为啥要用AI来求解偏微分方程？

训练AI的本质，是找到一种尽可能逼近真实结果的模型。

用AI求解偏微分方程，其实也是找到一种代理模型，来模拟偏微分方程模型。

代理模型，指找到一种近似模型，在计算量更小的同时，确保计算结果与原来的偏微分方程尽可能相似。

这与传统的数值方法求解偏微分方程有着异曲同工之妙。

传统方法往往需要通过将连续问题离散化（类似在一个连续函数上切割出很多小点），来对方程进行近似求解。

然而，传统的数值方法非常复杂，计算量也很大；采用AI方法训练出来的模型，却模拟得又快又好——

继2017年华盛顿大学提出PDE-FIND后，2018年谷歌AI又提出了数据驱动求解偏微分方程的方法，都比传统方法要快上不少，让更多人开始关注到AI求解偏微分方程这一领域。

2019年，布朗大学应用数学团队提出一种名叫PINN （物理激发的神经网络）的方法，彻底打开了AI在物理学领域的广泛应用。

这篇论文在理论上虽然没有PDE-FIND和谷歌AI的方法突破性强，却给出了非常完整的代码体系，使得开发人员很容易上手，让更多研究者开发出了不同的PINN，如今它也成为AI物理最常见的框架和词汇之一。

△PINN

去年加州理工大学和普渡大学团队发表的一项研究，更是将偏微分方程计算时间从传统求解的18个小时降低为1秒钟。

这篇论文提出了一种名为FNO （傅里叶神经算子）的方法，基于傅里叶变换给神经网络加上“傅里叶层”，进一步节省了近似模拟算子的计算量。

除此之外，也有不少研究人员通过训练一些经典AI模型，来求解偏微分方程，如U-Net等。

不过，无论是FNO、U-Net还是PINN，都还是基于各自给出的基准来评估AI计算偏微分方程的效果。

有没有一个更统一、更通用的框架来评估这个领域的新突破？

更全面的AI偏微分方程基准

在这样的背景下，研究人员提出了一种名叫PDEBench的基准。

首先是基准中包含的数据集，目前这些数据集已经全部归纳到GitHub中：

这里面包括不少经典偏微分方程问题，如Navier-Stokes方程，达西流模型、浅水波模型等等。

随后，PDEBench提出了几个指标，来从不同角度更全面地对AI模型进行评估：

最后，PDEBench还包含了几种经典模型的预训练模型代码，并将它们作为评估其他模型的基准之一，包括上述提到的FNO、U-Net、PINN等。

例如研究团队将这几个模型分别基于各数据集进行了训练，得出的均方根误差（RMSE）如下，也说明它们在不同偏微分方程问题上的表现并不一样：

除此之外，团队还将数据格式进行了统一，同时针对PDEBench的可扩展性进行了优化，因此任何人都能参与进来，给这一基准加入更多的数据集、或是更多基准模型。

值得注意的是，团队试了试分别在PyTorch和JAX两种框架上运行几种预训练模型，发现JAX的速度大约是PyTorch的6倍。

看来以后搞相关研究可以试试JAX框架了。

作者介绍

作者们来自德国斯图加特大学，欧洲NEC研发中心，还有澳大利亚联邦科学与工业研究组织（CSIRO）旗下的Data61数字创新中心。

Makoto Takamoto，欧洲NEC研发中心高级研究员，毕业于京都大学，研究方向是图像处理、图神经网络和科学机器学习。

Timothy Praditia，斯图加特大学博士研究生，研究兴趣是开发基于数据驱动和先验物理知识的神经网络模型。

论文地址：
https://arxiv.org/abs/2210.07182

PDEBench地址：
https://github.com/pdebench/PDEBench

参考链接：
[1]https://twitter.com/Mniepert/status/1581010273246523393
[2]https://mp.weixin.qq.com/s/Rbw2QFavSn8N7pPGS05o6w